央视购物街大转轮的决策策略
经常陪老婆看央视二套的《购物街》节目。里面有一个环节是,前几轮游戏胜出的选手转一个有分值的转轮,得分最高的进入当场节目的决赛。大转轮上的数字都是五的倍数,从五到一百。大转轮的规则是,每人最多可以转两次,两次分数相加为总成绩,但是如果两次分数相加超过一百就算爆掉没成绩了。所以,如果第一次转了一个很高的分数的话,选手可以选择不转第二轮,免得爆掉。通常每次有三个选手先后来转,对于后面的两人来说,如果他们第一次转的分数比前面的选手分数低,那无论如何是要转第二次去博一下的。但是对于第一个转的选手,在转了一次以后,没有其他选手的分数作为参照,他可能会比较纠结,要不要再转第二次呢,因为再转还有爆掉的可能性。那么,他应该怎么决策呢?
我们先看看,假设第一位选手最终的分数是X,那么后面选手的分数超过X的概率有多大。分两种情况,第一种情况,后面选手转一次就超过了X,这个概率是(100-X)/100。第二种情况,后面选手第一次转没有超过X,又转了第二次,并且第二次的分数让他的总分超过X还没有爆掉,这个概率应该是(X/100)*((100-X)/100)。那么汇总起来,后面选手超过第一位选手的概率就是((100-X)/100)+((X/100)*((100-X)/100))。如果这个概率低于一半的话,那么后面选手超越的难度就大了。我们令这个表达式等于0.5,就会得到一个一元二次方程X^2 = 5000,得到一个正数解是70.71。最接近的可能的分数是70,用70算得的概率是51%,也就是说,如果第一位选手转了70分的话,别人超过他的概率是51%;如果是75分,这个概率是43.75%。
那是不是说第一次转了70分以下包括70分,第一位选手最好还是再转第二次呢?不是,因为我们还要考虑一下爆掉的可能性。第一次转70,第二次再转爆掉的可能性是70%。相比于后面选手50%左右超过的可能性,去冒70%爆掉的危险有点不值。所以,应该是第二次爆掉的可能性低于后面选手超过的可能性再去转第二次才是明智的。如果第一次转了X,那么第二次转爆掉的可能性是X/100,令这个式子等于前面的那个表达式,也就是
X/100 = ((100-X)/100)+((X/100)*((100-X)/100))
化简以后的一元二次方程为 X^2 + 100X - 10000 = 0
求得的正数解是61.8。最接近的整数是60,这种情况下爆掉的可能性稍小于被超过的可能性,所以还是再转一把的好。要是第一次就转了65或更高,那就别冒险了。
这是我自己瞎想的,不知道里面是不是考虑周全了,权当是闹着玩吧 :-)
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